Wanneer stijgt de entropie? Aflevering 8

Statistische entropieverandering door irreversibele temperatuurverandering

In de vorige aflevering hebben we gekeken naar de entropieverandering als een gas expandeert als gevolg van het openzetten van een kraantje tussen een ruimte gevuld met een gas en een andere ruimte waar vacuüm heerst. We concludeerden dat bij het meetellen van alle verdelingen, je inderdaad beter kan spreken van een gasexpansie als gevolg van een entropiestijging dan te zeggen dat het gas expandeert omdat tijdens de expansie de entropie stijgt. Dat laatste is dan namelijk niet het geval.

We gaan in deze aflevering kijken hoe het zit als we twee containers met een even groot volume en beiden met 1 mol van het ideale gas, maar met een verschillende temperatuur zodanig met elkaar in contact brengen dat er warmte overgedragen kan worden tussen de twee containers.

Eerst beschouwen we de twee containers als thermisch geïsoleerd van elkaar.

 

                     

 Twee thermische geïsoleerde containers met volume V en 1 mol gas en verschillende temperatuur gescheiden door een  wand met thermische isolatie.

De entropie in de linker container is                                                 

S_1L= R ln a.V x b.T_L^3/2

De entropie in de rechter container is

S_1R= R ln a.V x b.T_R^3/2

Samen is de entropie

S_1L + S_2R = R ln a². V². b².(T_L.T_R)^3/2

(ln p + ln q  = ln p.q)

Vervolgens maken we van de isolerende wand tussen de twee containers op de een of andere manier een niet-isolerende wand door de isolatie weg te halen. 

                        

                             

Twee thermische geïsoleerde containers met volume V en 1 mol gas en verschillende temperatuur gescheiden door een niet- isolerende wand.

Er kan nu energie overgedragen worden tussen de atomen in de twee containers. waardoor de temperatuur hetzelfde wordt, nl. T_T, waarvoor geldt:

T_T = (T_L+T_R)/2

De entropie in de linker container en in de rechter container zijn nu gelijk geworden: S₂

Dus

S_2L+ S_2R = R ln a². V². b².(T_T.T_T)^3/2 = R ln a². V². b².(T_T)³

en dit is inderdaad altijd groter dan 0 zolang T_L ongelijk is aan T_R.

De vraag is nu wanneer die entropie gestegen is. Gebeurde dat tijdens het proces of helemaal aan het begin ervan?

Is het weghalen van de isolatie vergelijkbaar met het openen van het kraantje in de vorige aflevering? Ja, dat is het geval. Door het openen van het kraantje kunnen atomen zich verplaatsen tussen de twee containers. Door het weghalen van de isolatie kan energie zich verplaatsen tussen de twee containers.

Maar is de entropie dan ook meteen gestegen? Die vraag ga ik nu beantwoorden.

Wat is het totaal aantal verdelingen van de snelheden als het isolatiemateriaal is weggehaald? Daarvoor gebruiken we de methode die we in aflevering 3 gebruikt hebben om W_snelheid te berekenen voor N atomen. Voor 2N atomen en met een totale energie van E_L + E_R (de energie in de twee containers toen we begonnen), vindt je als de nieuwe entropie, die ik hier S_T noem:

S_T= k ln (a². V²)^N.[b². {(T_L + T_R)/2}^3N =  R ln a².V².b². {(T_L+T_R)/2}³

en met

T_T = (T_L+T_R)/2

wordt dit

S_T = = R ln a². V². b².(T_T)³

Dit is inderdaad precies gelijk aan  S_2L+ S_2R dat we boven vonden.

De conclusie dat de entropie stijgt vóór dat het proces van warmte-uitwisseling start, is dus gerechtvaardigd.

Voor de duidelijkheid nog even over het gebruik van T in de bovenstaande formules. T is een maat voor de hoeveelheid aanwezige energie. Je kan hem alleen maar meten als er evenwicht is, als de temperatuur zich heeft ingesteld. Maar de hoeveelheid aanwezige energie ligt wel al  vast vóór die temperatuur gemeten kan worden. Je kan T dus ook gebruiken voor situaties dat er nog geen evenwicht is om aan te geven hoeveel energie er is in 1 mol gas, middels:

E = 3/2 RT

Dus als je twee containers met verschillende temperatuur zodanig met elkaar in contact brengt dat er warmte overgedragen kan worden, dan stijgt op dat moment de entropie als gevolg waarvan de warmte-uitwisseling irreversibel op gang komt net zolang tot de temperatuur in beide containers gelijk geworden is.

Anders gezegd: de warmte-uitwisseling is een gevolg van de entropietoename in het hele systeem als gevolg van het weghalen van de isolerende laag (het openen van het “energie kraantje”). Dit is beter dan te stellen dat het andersom is, namelijk dat de entropie stijgt gedurende de warmte-uitwisseling, als je alle mogelijke verdelingen meeneemt bij het bepalen van W.

In de volgende aflevering ga ik de thermodynamische entropieverandering bespreken.