Wanneer stijgt de entropie? Aflevering 3

Statistische entropie en het aantal manieren waarop gasdeeltjes in een ruimte kunnen bewegen

Teneinde een één-atomig ideaal gas helemaal te beschrijven, moeten we niet alleen weten waar de deeltjes zijn maar ook hoe ze zich bewegen.

Waar de deeltjes zijn, hebben we in de vorige aflevering besproken.

De deeltjes bewegen zich daarbij ook nog in alle richtingen. En dus kent een bepaalde verdeling van de deeltjes over de ruimte op zichzelf ook nog vele toestanden: nl. alle mogelijke verdelingen van de richtingen waarin de deeltjes bewegen. En niet alleen dat, er is ook nog een verdeling van de snelheden zelf. Immers door de botsingen zullen de deeltjes niet allemaal dezelfde snelheid hebben.

Was het mogelijk om voor de deeltjes aan te nemen dat ze geen volume hebben en geen invloed op elkaar of op de wand uitoefenen (bh. met volkomen elastische botsingen zoals biljartballen), voor de snelheden is een dergelijke simplificatie niet mogelijk. Bovendien hebben we ermee te maken dat de  totale (kinetische) energie van alle deeltjes samen bij een bepaalde temperatuur vast ligt. Dit laatste geldt dus voor iedere mogelijke verdeling.

Toch is het best te doen om ook hier W (die ik voor de duidelijkheid W_beweging noem) af te leiden.

Om het principe duidelijk te maken, neem ik een deeltje dat alleen in een twee dimensionaal vlak kan bewegen. Het deeltje kan in alle richtingen bewegen, maar we kunnen iedere beweging zien als een samenstelling van een beweging in de x-richting en loodrecht daarop in de y-richting.

Het deeltje heeft een totale kinetische energie

E_totaal = ½  mv²

waarvan ½ mv_x² in de x–richting en ½  mv_y² in de y-richting;

We hebben dus

½ mv_x²  +  ½ mv_y² = E_totaal

of

v_x² + v_y² = 2E_totaal/m

dit is de vergelijking van een cirkel met straal (2E_totaal/m)^1/2

Ieder punt op de omtrek van de cirkel geeft één van de mogelijke richtingen van het deeltje aan en geeft tegelijk ook aan dat het deeltje de totale energie met zich meedraagt.

De omtrek (2πr) van de cirkel met r =(2E_totaal/m)^1/2 geeft dus alle mogelijke richtingen aan die het deeltje kan hebben en waarbij ook voldaan is aan de voorwaarde dat het deeltje de totale energie heeft.

Het aantal realiseringsmogelijkheden voor de snelheid in de x en y-richting met als voorwaarde dat de energie de totale energie moet zijn is daarmee

W_beweging = 2π (2E_totaal/m)^1/2

Eenzelfde redenatie kunnen we houden als we N deeltjes hebben die zich in 3N richtingen kunnen bewegen.

v_1x² + v_1y² + v_1z² + v_2x² +  ……….. v_Nx² + v_Ny² + V_Nz² =  2E_totaal/m = r²

Waar r de straal is, dus r= (2E_totaal/m)^1/2

Dit is de vergelijking van een bol met 3N dimensies, iets wat je je niet voor kan stellen, maar waar we wel aan kunnen rekenen. Ook hier geldt dat een punt op het oppervlak van de “bol” één van de mogelijke combinaties van snelheden in alle richtingen weergeeft. Met als eigenschap dat zo’n combinatie inderdaad de totale energie van alle deeltjes samen heeft. Het oppervlak van de bol geeft alle mogelijke combinaties van snelheden, ieder met dezelfde totale energie en is dus de W_beweging die we zoeken.

Het oppervlak van een bol met x-dimensies wordt gegeven door C r^x-1 waar C een constante is.

W_beweging voor N deeltjes is dus het oppervlak van de bol met 3N dimensies en straal (2E_totaal/m)^1/2   en is dus

W_beweging =  C (2E_totaal/m)^{1/2 x (3N-1)}

en omdat 1 verwaarloosbaar is ten opzichte van 3N, wordt dit

W_beweging =  C (2E_totaal/m)^{3/2 N}

Als het systeem in evenwicht is of zou zijn, dan geldt:

E_totaal = 3/2 RT

Invullen hiervan geeft:

W_beweging = C (3 RT/m )^{3/2 N}  =  (b.T^3/2)^N

waarin b ook weer een constante is. We hoeven b niet te kennen als we alleen over entropieverschillen praten, zoals we in deze serie afleveringen voornamelijk zullen doen.

Een punt van aandacht hier is dat de totale energie vastligt en dat de formule E_totaal = 3/2 RT

het alleen maar mogelijk maakt om hem te weten te komen (en dat je daarvoor moet wachten tot het systeem in evenwicht is, omdat je alleen dan van een temperatuur kunt praten). Met andere woorden

W_beweging =  (b.T^3/2)^N

geeft het totaal van alle verdelingen, niet alleen de evenwichtige, maar ook alle extremen.

In de volgende aflevering zullen we W_plaats en W_beweging gaan samenvoegen tot één algemene uitdrukking waarmee entropieverschillen aan een ideaal gas berekend kunnen worden.