Statistische entropie en het aantal manieren waarop gasdeeltjes in een ruimte geplaatst kunnen worden
De statistische entropie is gerelateerd aan het aantal verschillende manieren waarop een bepaald systeem van deeltjes kan bestaan. Bijvoorbeeld als je 1 deeltje hebt en 3 hokjes waar dat deeltje in kan, dan is het aantal manieren waarop dat systeem kan bestaan 3.
Met betrekking tot entropie zijn hieraan nog wel twee voorwaarden verbonden:
1. Alle manieren zijn even waarschijnlijk;
2. Met behulp van energie kunnen alle manieren voortdurend in elkaar over gaan.
In het bovenstaande voorbeeld zou dat dan betekenen dat het deeltje voortdurend van hokje moet kunnen wisselen en dat er geen voorkeur is voor een bepaald hokje.
Als je een gasatoom in een ruimte hebt (bv. onderstaande cilinder, links van de zuiger), dan zijn alle plekken waar het atoom kan zijn in de cilinder even waarschijnlijk. Daarnaast is er bewegingsenergie die het atoom daadwerkelijk van de ene plek naar de andere doet gaan.
Afgesloten cilinder met gas en een beweegbare zuiger
De relatie tussen de statistische entropie (symbool Sstat) en het aantal manieren (symbool W) wordt gegeven door:
Sstat = k ln W
waarin k de zogenaamde constante van Boltzmann is. “ln W” staat voor de zogenaamde natuurlijke logaritme van W. Dit is een rekenkundig “foefje” om grote getallen (W is meestal een gigantisch groot getal) kleiner en hanteerbaarder te maken. En niet alleen dat, het gebruik van een logaritme is meer in overeenstemming met de eigenschappen van S, zoals ik in aflevering 9 zal bespreken.
Voor een atoom is het aantal manieren waarop het in een cilinder kan bestaan recht-evenredig met het volume (V) van die cilinder. Oftewel W = a.V, waarbij a een evenredigheidsfactor is. Voor twee atomen is W = a.V x a.V = (a.V)2 omdat het aantal manieren waarop het eerste deeltje kan bestaan gecombineerd wordt met het aantal manieren waarop het tweede deeltje kan bestaan. Voor N atomen is het aantal manieren gelijk aan (a.V)N, als we er vanuit gaan dat we te maken hebben met een ideaal gas. Het aantal mogelijke manieren waarop de deeltjes geplaatst kunnen worden in een volume V, noem ik Wplaats en is dus:
Wplaats = (a.V)N
Ideaal gas
Een ideaal gas is een hypothetisch gas waarbij de deeltjes één-atomig zijn, wel een massa maar geen volume hebben (een punt zijn). Ze oefenen geen aantrekkingskracht op elkaar uit en de botsingen zijn volkomen elastisch dwz. zoiets als biljartballen doen. Hetzelfde geldt voor de interactie tussen de deeltjes en de wand van het vat waar ze inzitten.
Het hanteren van een ideaal gas maakt het makkelijker om entropie-berekeningen erop los te laten maar de uitkomsten en conclusies zijn niet noemenswaardig anders dan bij een echt, niet-ideaal, gas.
In (a.V)N zitten alle mogelijke verdelingen van de N deeltjes die er in het volume V zijn. Dus ook in de praktijk hele onwaarschijnlijke, zoals een verdeling waarbij alle deeltjes in één hoek zitten. Omdat het in de praktijk veel waarschijnlijker is dat alle deeltjes over de hele ruimte gelijkmatig verspreid zijn (zo zal je kunnen meten dat de dichtheid, de temperatuur en de druk overal hetzelfde zijn) heeft het zin om te kijken naar het aantal mogelijke verdelingen waarbij alle deeltjes over de hele ruimte gelijkmatig verspreid zijn.
Het blijkt dat van alle mogelijke verdelingen, die waarbij de deeltjes gelijkmatig verspreid zijn, inderdaad verreweg in de meerderheid zijn en dat aantal wordt bij grotere aantallen deeltjes alleen maar groter. Hier gebruiken we voor N steeds de mol, en dat is een heel erg groot getal (6 .1023), zodat het hier zeker opgaat dat de verdelingen met een gelijkmatige verspreiding in overweldigende meerderheid zijn. Bij dergelijke grote aantallen deeltjes maakt het voor het getal W verwaarloosbaar weinig uit of je wel alle mogelijke verdelingen meeneemt of alleen die met gelijkmatige spreiding.
Willekeurige bewegingen en waarschijnlijke toestanden
Omdat alle deeltjes voortdurend in beweging zijn en omdat de richting en snelheid daarvan voor ieder deeltje anders kan zijn en omdat er voortdurend botsingen plaatsvinden, gaat de ene verdeling over in de andere en dat blijft eindeloos doorgaan zodat in de tijd zeer vele verdelingen worden doorlopen. Omdat de meeste verdelingen die van een gelijkmatige verspreiding zijn, is de kans dat er ook een minder gelijkmatige verdeling wordt doorlopen, weliswaar aanwezig maar onwaarschijnlijk.
Bv. Als er 1000 mogelijke gelijkmatige verdelingen zijn en één niet gelijkmatige en alle verdelingen zijn even waarschijnlijk dan is de kans dat je een gelijkmatige verdeling aantreft veel groter dan een ongelijkmatige. Daarnaast moet je je voorstellen dat in de praktijk een nieuwe verdeling veel zal lijken op de vorige. Aangezien er nogal wat in één bepaalde richting moet veranderen voordat je bij de ongelijkmatige uitkomt, reduceert dat de kans verder dat je een ongelijkmatige verdeling tegenkomt. Tegelijkertijd is het dus zo dat de kans dat je van een ongelijkmatige verdeling gaat naar een gelijkmatige veel groter is dan andersom.
In de volgende aflevering gaan we kijken naar het aantal manieren waarop de gasdeeltjes in een ruimte kunnen bewegen.
Geen opmerkingen:
Een reactie posten